نوشته گوتلوب فرگه

ترجمه منوچهر بديعى

مقدمه

عدد چيست؟ چگونه مى‏توان آن را تعريف كرد؟ آيا عدد با عمل انتزاع از اشياء به دست مى‏آيد؟ آيا همانند رنگ خاصيتى است از اشياء؟ فرگه در 1884 كتاب مبانى حساب را براى پاسخ بدين پرسشها و طرح و حل مسائل فلسفى ديگر نوشت. در اين كتاب فرگه نخست پاسخهاى فيلسوفان و رياضى‏دانان معاصر با خود و پيش از خود را نقل و سپس نقد مى‏كند. آن‏گاه در نيمه دوم كتاب آراء خود را كه همه بديع و آغازگر فصلى تازه در فلسفه رياضى و منطق‏اند مى‏آورد. آنچه اين كتاب را شاهكار مسلمى در فلسفه رياضى و فلسفه تحليلى كرده است، گذشته از انبوه مطالب تازه و ژرف آن، سبك نگارش، زيبايى تقرير و قدرت تحليل فرگه در توضيح مسائل است.

فرگه در مقدمه اين كتاب رياضى‏دانان را، بدين دليل كه تصور روشنى از مبانى علم خود ندارند و توجهى هم بدان نشان نمى‏دهند، سرزنش مى‏كند. آن‏گاه دليل اين بى‏توجهى را دخالت پسيكولوژيسم در فلسفه و رياضى مى‏داند. سپس برخى نقصها و آفتهاى پسيكولوژيسم و ايدئاليسم را كه همه‏چيز را به ايده‏هاى ذهنى فرو مى‏كاهد، برمى‏شمارد و در پايان روش‏شناسى خود را در سه اصل خلاصه مى‏كند: جدا نگاه‏داشتن پسيكولوژيسم از منطق; پرسش از معناى كلمه در جمله و نه بيرون از آن; توجه به تمايز شئ از مفهوم. درك دقيق معناى اين سه اصل مستلزم مطالعه دقيق مبانى حساب و آثار ديگر فرگه است. در مورد تمايز شئ از مفهوم، خواننده مى‏تواند به مقاله «گوتلوب فرگه و تحليل منطقى زبان‏» در همين شماره مراجعه كند. (ضياء موحد)

هرگاه از كسى بپرسيم عدد يك چيست‏يا علامت 1 چه مصداقى دارد، معمولا در پاسخ مى‏شنويم كه «خوب، يك چيزى است‏». اگر در دنبال سخن خود بگوييم كه گزاره «عدد يك، يك چيزى است.» تعريف به‏شمار نمى‏آيد زيرا در يك سوى آن علامت معرفه [كسره اضافه واژه عدد در فارسى] و در سوى ديگر آن علامت نكره [واژه يك در جلو «چيز» و «ى‏» پس از آن] وجود دارد، يا بگوييم كه اين گزاره فقط عدد يك را در رده اشياء قرار مى‏دهد اما نمى‏گويد كه كدام يك از اشياء است، احتمال بسيار مى‏رود كه از ما بخواهند چيزى را - هر چه را كه دلمان مى‏خواهد - برگزينيم و آن‏را يك بخوانيم. اما، اگر هركسى حق داشته باشد كه از اين نام [يك] هر چه دلش مى‏خواهد بفهمد، آن وقت هر گزاره واحدى درباره عدد يك براى مردمان گوناگون معانى گوناگون خواهد داشت و اين‏گونه گزاره‏ها محتواى مشتركى نخواهند داشت. شايد كسانى باشند كه از پاسخ‏گفتن به اين پرسش سرباز زنند و نيز كه در حساب به كار مى‏رود محال است‏بتوان معنايى گفت; و اگر بگوييم a ] به معناى عددى است‏»، بر اين نيز همان ايراد وارد است كه بر تعريف «يك، يك چيزى است‏» وارد بود. البته سرباززدن از پاسخگويى در مورد حرف a كاملا بجاست: a به معناى عدد معينى نيست كه بتوان آن را مشخص كرد، بلكه براى بيان كليت گزاره‏هاى كلى به كار مى‏رود. اگر در فرمول a + a - a a به جاى a عددى بگذاريم، هر عددى كه بخواهيم اما همه‏جا همان عدد را بگذاريم، همواره يك اين‏همانى صادق به‏دست‏خواهيم آورد. حرف a به همين معنا به كار رفته است. اما در مورد يك، وضعيت اساسا فرق مى‏كند. آيا در اين‏همانى 2 ل 1 + 1 مى‏توانيم به جاى 1 در هر دو جا همان شى‏ء مثلا «ماه‏» را بگذاريم؟ برخلاف، ظاهرا به نظر مى‏رسد كه هر چه به جاى اولين 1 بگذاريم به جاى دومى چيز ديگرى بايد گذارد. چرا بايد در اين مورد كارى بكنيم كه در مورد ديگر پاك نادرست كارش به انجام نمى‏رسد بلكه بايد حرفهاى ديگرى را نيز (مانند c ,b و غيره) به كار گيرد تا روابط بين عددهاى گوناگون را به صورت كلى بيان كند. پس طبيعى است كه فرض كنيم علامت 1 نيز، اگر به طرز مشابهى به كار رود تا كليت گزاره‏ها را برساند، به تنهايى كافى نباشد. با اين‏همه، شك نيست كه عدد يك شى‏ء معين خاصى به نظر مى‏رسد با خصوصياتى كه مى‏توان آنها را مشخص كرد، مثلا اين خصوصيت كه وقتى در خود ضرب مى‏شود تغييرى در آن راه نمى‏يابد. از اين جهت، حرف a هيچ خاصيتى ندارد كه بتوان آن را مشخص كرد. زيرا هر چه درباره حرف a گفته شود، خاصيت مشترك همه عددهاست، در حالى كه 1 ل ¹ 1 درباره ماه هيچ چيز نمى‏گويد. درباره خورشيد و درباره صحرا و درباره قله تنه‏ريفه ⁽¹⁾ نيز هيچ چيز نمى‏گويد; آخر معناى چنين گفته‏اى چه مى‏توانست‏باشد؟

پرسشهايى از اين قبيل حتى گريبان رياضى‏دانان را نيز مى‏گيرد كه همگى يا غالب آنان هيچ پاسخ كافى براى آن در چنته ندارند. با اين‏همه، آيا شرم‏آور نيست كه علم ما درباره نخستين و پرسابقه‏ترين موضوعهاى خود تا اين اندازه مبهم باشد، آن هم موضوعى كه ظاهرا تا اين اندازه ساده است؟ پس اين اميد اندكى است كه بتوانيم بگوييم عدد چيست. اگر مفهومى كه براى علمى والا تا اين اندازه اساسى است دشواريهايى پديد آورد، پس وظيفه مبرم آن است كه آن‏را با دقت‏بيشترى بررسى كنيم تا بر آن دشواريها غلبه كنيم; على‏الخصوص كه تا وقتى بينش ما درباره شالوده كل ساختار علم حساب ناقص باشد در روشن‏ساختن عددهاى منفى يا عددهاى كسرى يا مختلط مشكل بتوان موفق شد.

به يقين بسيار هستند كسانى كه معتقدند اين كار به زحمتش نمى‏ارزد. طبعا اينان گمان مى‏كنند كه در كتابهاى درسى ابتدايى آنقدر كه بايد به اين مفهوم پرداخته‏اند و موضوع در همان كتابها يكباره و تا ابد فيصله يافته است. كيست كه قبول كند هنوز هم بايد درباره موضوعى به اين سادگى چيزى بياموزد؟ مفهوم عدد صحيح مثبت را بيش از آن خالى از هر دشوارى مى‏دانند كه شرح و تفصيلى از آن را كه براى كودكان مناسب است‏بتوان كارى علمى و جامع دانست; و ديگر اينكه هر طفل مكتبى بى هيچگونه تفكر يا آشنايى بيشتر درباره آنچه ديگران انديشيده‏اند هرچه را بايد در اين زمينه دانست مى‏داند. پس در اينجا نخستين انگيزه آموختن يكسره مفقود است - يعنى دانستن اينكه نمى‏دانيم. در نتيجه هنوز هم به ناپخته‏ترين نظرها خرسنديم. هر چند كه از زمان هربارت ⁽²⁾ نظر بهترى هم در دسترس بوده است. چه غم‏انگيز و نوميدكننده است كه مى‏بينيم چگونه كشفهايى كه روزگارى به عمل آمده است‏بدين طرز در خطر آن است كه بار ديگر از دست‏برود و چه بسيار كارها كه مهمل گذارده شده است، زيرا ما خود را در چنان مرتبه والايى مى‏دانيم كه ديگر نيازى نمى‏بينيم زحمت كشيده ثمره آن كارها را جذب كنيم. نيك مى‏دانم كه كار من نيز در معرض همين خطر است. وقتى مى‏بينيم محاسبه را «انديشه مجموعى مكانيكى‏» ⁽³⁾ تعريف كرده‏اند، نمونه بارزى از اين ناپختگى را پيش چشم خود مى‏بينيم. ترديد دارم كه آيا هيچ‏گونه انديشه‏اى وجود دارد كه مابازاى اين توصيف باشد. حتى مى‏توان يك تخيل مجموعى را با اغماض پذيرفت; اما ربطى به محاسبه ندارد. جنبه‏هاى اساسى انديشه همه‏جا يكى است: درست نيست كه بگوييم قوانين انديشه انواع متفاوتى دارد كه متناسب با انواع متفاوت موضوعهاى انديشه است. تفاوتهايى كه وجود دارد فقط در اين است كه انديشه بيشتر مجرد باشد يا كمتر، كمتر به عوامل روانى و كمكهاى خارجى مانند واژه‏ها يا شماره‏ها وابسته باشد يا بيشتر، و همچنين تفاوت تا اندازه‏اى در اين است كه ساختار مفهومهايى كه در انديشه دخيل هستند تا چه اندازه ظريف يا مخت‏باشد; اما درست از همين جهت است كه رياضيات مى‏خواهد از تمام علوم ديگر، حتى از فلسفه، درگذرد.

را از n نتيجه‏گيرى كنيم، هر چند كه ظاهرا مختص رياضيات است، اما بر شالوده قوانين عام منطق استوار است و نيز اين نكته روشن خواهد شد كه براى انديشه مجموعى نياز به قوانين خاصى نيست. البته مى‏توان با ارقام و اعداد به طور مكانيكى عمل كرد. چنانكه مى‏توانيم مانند طوطى سخن بگوييم، اما چنين عملى ديگر لايق نام انديشه نيست. آن عمل مكانيكى نيز تنها در صورتى ميسر خواهد بود كه علامتهاى رياضى در نتيجه انديشه اصيل چنان پرورانده شده باشند كه به اصطلاح به جاى ما كار فكركردن را انجام دهند. اين بدان معنا نيست كه اعداد به طرز مكانيكى عجيب و غريبى ساخته شده باشند، چنانكه مثلا شن از دانه‏هاى كوارتز ساخته شده است. به نظر من رياضى‏دانان بايد به لحاظ مصلحت‏خود با نظرياتى از اين قبيل مبارزه كنند. زيرا مسلم است كه چنين نظرياتى موجب بى‏اعتبارى موضوع اصلى پژوهشهاى رياضى‏دانان و همچنين بى‏اعتبارى علم آنان خواهد شد. با اين حال عباراتى از اين قبيل حتى در آثار رياضى‏دانان نيز يافت مى‏شود. حقيقت‏يكسره عكس اين است: چنانكه پس از اين ناگزير اذعان خواهيم كرد، مفهوم عدد از غالب مفاهيم علوم ديگر ساختار ظريفترى دارد هر چند كه هنوز هم يكى از ساده‏ترين مفاهيم حساب است.

براى رفع اين توهم كه اعداد صحيح مثبت هيچ مشكلى پيش نمى‏آورند و درباره آنها ميان همگان توافق حاصل است، طرح آن ريخته‏ام كه پاره‏اى از نظريات رياضى‏دانان و فيلسوفان را درباره موضوعهاى موردنظر نقادى كنم. خواهيم ديد كه ميزان توافق آنان چه اندك است - چنان اندك كه مى‏بينيم هر حكمى دقيقا با حكم ديگر متناقض است. فى‏المثل، پاره‏اى معتقدند كه «واحدها با يكديگر اين‏همانى دارند»، ديگران معتقدند كه چنين نيست و واحدها با يكديگر تفاوت دارند و هر طرف براى گفته خود برهانهايى مى‏آورد كه بى‏درنگ نمى‏توان آنها را رد كرد. هدف من از اين كار آن است كه شوق به پژوهش دقيقتر را بيدار كنم. در عين حال اين بررسى مقدماتى درباره آراء ديگران زمينه را براى بيان نظر خود من آماده مى‏كند، بدين معنا كه خواننده را از پيش قانع مى‏كند كه آن راههاى ديگر به مقصد نمى‏رسند و چنين نيست كه عقيده من فقط عقيده‏اى باشد در ميان عقايدى كه همه آنها به يك اندازه اعتبار دارند; و اميدوارم بدين طريق بتوانم مساله را دست‏كم از جهات اساسى آن، قطعا فيصله دهم.

البته خود مى‏دانم كه مآلا به مباحثى كشانده شده‏ام كه بيش از آن فلسفى است كه بتواند مورد تاييد بسيارى از رياضى‏دانان باشد; اما بررسى همه‏جانبه مفهوم عدد همواره ناگزير تا اندازه‏اى جنبه فلسفى پيدا مى‏كند. اين بررسى، كارى است مشترك بين رياضيات و فلسفه.

چه بسا كه همكارى بين اين دو علم، با آنكه از هر دو سو گامهاى بسيار در راه اين همكارى برداشته شده است، چندان كه مطلوب و ممكن بوده ثمرى به بار نياورده باشد. اگر چنين باشد، علت آن به عقيده من غلبه روشهاى استدلال روانشناسى در زمينه فلسفه بوده است كه حتى به زمينه منطق نيز سرايت كرده است. رياضيات با اين روال هيچ سر لطف ندارد و اين خود نيك نشان مى‏دهد كه چرا بسيارى از رياضى‏دانان از استدلالهاى فلسفى روگردانند. مثلا وقتى استريكر ⁽⁴⁾ تصورات ما را از اعداد پديده‏اى موتورى مى‏خواند و آنها را به احساسهاى ماهيچه‏اى وابسته مى‏داند، هيچ رياضى‏دانى نمى‏تواند اعداد موردنظر خود را در چنين معركه‏اى بازشناسد و نمى‏داند از كجا به دست و پنجه نرم‏كردن با چنين گفته‏اى آغاز كند. علم حساب كه بر شالوده احساسهاى ماهيچه‏اى استوار باشد بى‏شك بس هيجان‏انگيز خواهد بود اما همچون شالوده خود سراپا مبهم خواهد بود. نه، علم حساب نه كارى به كار احساسها دارد نه كارى به كار تصويرهاى ذهنى كه از آثار درهم‏برهم‏شده تاثرات حسى نخستين تركيب شده باشند. اين مراحل آگاهى همه ذاتا پرنوسان و نامعين است و با معين بودن و ثبات مفاهيم و اشياء رياضيات در غايت تضاد است. البته شايد پژوهش درباره تصورات و دگرگونيهاى تصورات كه در جريان تفكر رياضى پيش مى‏آيد فايده‏هايى داشته باشد; اما روانشناس نبايد خيال كند كه مى‏تواند از هيچ لحاظ هيچ مددى به شالوده رياضيات برساند. در نظر رياضى‏دان، به اعتبار آنكه رياضى‏دان است، اين گونه تصويرهاى ذهنى و منشا و دگرگونيهاى آنها هيچ اهميتى ندارند. استريكر خود مى‏گويد تنها تصورى كه در ذهن او با واژه «صد» تداعى مى‏شود همان علامت 100 است. ديگران ممكن است تصور حرف «ص‏» يا چيز ديگرى را تداعى كنند; آيا نمى‏توان نتيجه گرفت كه اين‏گونه تصويرهاى ذهنى تا آنجا كه به ما و نكات اساسى مساله ما مربوط مى‏شود، يكسره بى‏اهميت و فرعى هستند - يعنى به اندازه گچ و تخته سياه فرعى هستند و براستى در خور آن نيستند كه نام تصور عدد صد بر روى آنها بگذاريم؟ پس هرگز نبايد فرض را بر اين بگذاريم كه اساس مسئله در اين‏گونه تصورات نهفته است. هرگز نبايد توصيف منشا يك تصور را به جاى تعريف قبول كنيم يا شرح اوضاع و احوال ذهنى و جسمى را كه در آن اوضاع و احوال از گزاره‏اى آگاه مى‏شويم به جاى برهان آن گزاره بپذيريم. درباره هر گزاره‏اى مى‏توان انديشيد و همچنين آن گزاره ممكن است صادق باشد; اين دو امر را هرگز نبايد با يكديگر خلط كنيم. همواره بايد اين را به ياد داشته باشيم كه همان‏گونه كه به صرف آنكه ما چشمهاى خود را ببنديم وجود خورشيد پايان نمى‏گيرد، صرف اينكه ما درباره گزاره‏اى نينديشيم نيز سبب نمى‏شود كه صدق آن پايان گيرد. اگر غير از اين بود، درموقع اثبات قضيه فيثاغورس ناگزير مى‏شديم جايى هم براى ميزان فسفر مغز بشر باز كنيم; و منجمان دست و دلشان مى‏لرزيد كه درباره گذشته دور به هيچ‏گونه نتيجه‏گيرى دست‏يازند مبادا متهم شوند كه گذشت زمان را از نظر دور داشته‏اند - و دودوتا را چهارتا حساب كرده‏اند بدون آنكه در نظر گيرند كه تصور ما از عدد نتيجه تكامل است و تاريخى در پشت آن نهفته است. ممكن بود شك كنند كه تا آن زمان، در گذشته‏هاى دور، شايد تصور عدد آن اندازه پيشرفت نكرده بوده است. چگونه مى‏توانند ادعا كنند كه مى‏دانند در عهد دقيانوس نيز گزاره 4 ل 2×2 وجود داشته است؟ آيا احتمال نمى‏رود موجودات آن زمان گزاره 5 ل 2×2 را درست مى‏دانسته‏اند كه در نتيجه تكامل آن از طريق روند انتخاب طبيعى در تنازع بقا گزاره 4 ل 2×2 بعدا حاصل شده است؟ چه بسا بتوان گفت كه خود گزاره 4 ل 2×2 نيز سرنوشتش آن است كه به همان شيوه به گزاره 3 ل 2×2 تكامل يابد! ! Est Modus in rebus, sunt certi denique fines

برداشت تاريخى، با اين هدف كه ببينيم چيزها چگونه آغاز شده و از منشا آنها به ماهيت آنها پى‏ببريم بى‏شك كاملا بجاست; اما محدوديتهايى هم دارد. اگر همه‏چيز مدام در سيلان مى‏بود و هيچ چيز خود را در همه زمانها ثابت نگاه نمى‏داشت، ديگر دانستن هيچ چيز درباره جهان ممكن نمى‏شد و همه‏چيز در اغتشاش فرو مى‏رفت. ظاهرا ما خيال مى‏كنيم كه مفاهيم در ذهن شخص همچون برگ بر درخت مى‏رويد و گمان مى‏بريم با بررسى زايش آنها مى‏توانيم ماهيت آنها را كشف كنيم، از اين رو درصدد برمى‏آييم تا مفاهيم را براساس روانشناسى و در چارچوب ماهيت ذهن بشر تعريف كنيم. اما چنين توصيفى همه چيز را ذهنى مى‏سازد و اگر آن را تا پايان دنبال كنيم، از حقيقت دور خواهيم شد. آنچه ما آن را تاريخ مفاهيم مى‏شماريم، در واقع يا تاريخ علم ما به مفاهيم است‏يا تاريخ معانى واژه‏هاست. غالبا بشر فقط پس از تلاش فكرى عظيمى كه ممكن است صدها سال ادامه داشته باشد سرانجام توفيق مى‏يابد از مفهومى به صورت خالص آگاه شود و حشو و زوايد نامربوطى را كه آن مفهوم را از چشم ذهن پوشيده نگاه مى‏دارد بزدايد. پس چه بايد گفت درباره كسانى كه در مواردى كه اين كار كامل نشده است‏به جاى پيش‏بردن آن از آن بيزارى مى‏جويند، روانه مهد كودك مى‏شوند يا خود را در دورانهايى از تكامل بشر كه دورتر از آن به تصور نمى‏آيد دفن مى‏كنند تا در آنجا مانند جان استوارت ميل علم حساب كلوچه‏اى يا سنگريزه‏اى كشف كنند! همين مانده است كه از طعم نان هم معناى خاصى به مفهوم عدد نسبت دهند. چنين روشى حتما درست‏خلاف جهت عقل است و در هر حال آن‏قدر غيررياضى است كه از آن بيشتر نمى‏شود. عجب نيست كه رياضى‏دانان به اين روش پشت مى‏كنند. آيا مفاهيم، همچنان كه ما به سرچشمه‏هاى مفروض آنها نزديك مى‏شويم خود را به طرز خالص خاصى آشكار مى‏كنند؟ هرگز چنين نيست; ما همه‏چيز را چنان مى‏بينيم كه گويى از ميان مه ديده‏ايم، محو و نامشخص. مثل آن است كه هركس مى‏خواهد چيزى درباره امريكا بداند ناچار باشد سعى كند خود را در وضعيت كريستف كلمب قرار دهد، آن هم در زمانى كه كريستف كلمب نخستين بار به منظر مبهم و مشكوك جايى نظر كرد كه گمان مى‏برد هندوستان است. البته اين قياس چيزى را ثابت نمى‏كند; اما اميدوارم نكته‏اى را كه مى‏خواهم بگويم روشن كند. چه بسا كه تاريخ كشفهاى نخستين موضوع پرفايده‏اى براى بررسى باشد و مقدمه پژوهشهاى ديگر قرار گيرد; لكن نبايد جاى آن پژوهشها را غصب كند.

تا جايى كه پاى رياضى‏دانان در كار است، حمله به چنين نظرياتى كمتر ضرورت دارد، اما من بحث را طورى طرح‏ريزى كرده‏ام كه هر نزاعى را حتى‏الامكان به عرصه فيلسوفان نيز بكشانم. چندان كه ناگزير شدم قدرى هم وارد رشته روانشناسى شوم، حتى اگر براى دفع هجوم آن به رياضيات باشد.

از سوى ديگر، حتى متون رياضى نيز گاهى به وادى روانشناسى مى‏لغزند. در مواردى كه نويسنده خود را ناگزير مى‏بيند تعريفى به‏دست دهد اما نمى‏تواند، رو به آن مى‏آورد كه دست‏كم راه رسيدن به شى‏ء يا مفهوم موردنظر را وصف كند. اين‏گونه موارد را از آنجا به آسانى مى‏توان شناخت كه نويسنده در دنباله بيان مطلب خود ديگر به آن وصفها اشاره‏اى نمى‏كند. توضيحات مقدماتى براى مقاصد آموزشى بى‏شك كاملا بجاست; اما اين‏گونه توضيحات را همواره بايد از تعريفها تميز داد. نمونه مفرح موردى كه حتى رياضى‏دانان ممكن است مبانى برهان را با شرطهاى ذهنى يا جسمى، كه بايد براى آوردن برهان تحقق يابد، اشتباه كنند، در كتاب اى. شرودر ⁽⁵⁾ ديده مى‏شود. وى در زير عنوان «اصل ويژه‏» اين مطلب را از خودش درمى‏آورد: «اصلى را كه در ذهن دارم مى‏توان اصل ثبات نمادى ناميد. اين اصل ضامن آن است كه در سراسر استدلالها و قياسهاى ما نمادها در حافظه ما - يا، بهتر از آن - بر روى كاغذ ثابت‏بماند.» و قس على هذا.

امرى كه براى رياضى‏دانان اهميتش كمتر از رد هرگونه كمك از سوى روانشناسى نيست، اذعان به پيوند نزديك آن با منطق است. من حتى تا حد قبول اين نظر پيش مى‏روم كه جداكردن رياضيات و منطق به طور قاطع محال است. اين اندازه را همه قبول دارند كه هرگونه پژوهشى درباره قوت برهان يا توجيه هر تعريفى در حوزه منطق است. اما اين‏گونه پژوهشها را نمى‏توان از حوزه رياضيات بيرون كرد زيرا تنها از راه پاسخگويى به آنهاست كه مى‏توانيم به يقين لازم برسيم.

بى‏شك من در اين جهت‏بيش از اندازه متعارف جلو مى‏روم. در پژوهشهايى از اين قبيل، اغلب رياضى‏دانان به آن بسنده مى‏كنند كه نيازهاى فورى خود را برآورند. اگر معلوم شود كه تعريفى در برهانها جا مى‏افتد، اگر در هيچ‏جا تناقضى نبينند و اگر بين موضوعهايى كه ظاهرا دور از يكديگرند پيوندهايى آشكار گردد و اين خود باعث پيشرفتى در زمينه نظم و ترتيب گردد، معمولا تعريف را محرز مى‏دانند و ديگر درباره توجيه منطقى آن چندان پرس‏وجويى نمى‏كنند. اين روش دست‏كم اين حسن را دارد كه به خطارفتن تيرشان دشوارتر مى‏شود. من حتى با تعريفهايى موافق هستم كه ارزش آنها در مفيدبودن آنهاست: بايد بتوانيم اين تعريفها را در ساختن برهانها به كار ببريم. اما باز هم اين نكته را بايد در نظر داشت كه تا وقتى تعريفها را فقط به صورت نوعى دليل‏تراشى به صرف آنكه با هيچ تناقضى روبرو نشده‏ايم توجيه مى‏كنند، قوت برهان توهمى بيش نيست ولو آنكه در زنجيره قياسهاى ما هيچ حلقه‏اى هم مفقود نباشد. با اين روشها ما در پايان كار به چيزى جز يقين تجربى نمى‏رسيم و حتما بايد اين امكان را در نظر داشته باشيم كه هنوز هم ممكن است در پايان با تناقضى روبرو شويم كه تمامى بنا را درهم فرو ريزد و ويران كند. به اين دليل من خود را ملزم ديده‏ام كه تا اندازه‏اى بيش از آنچه كه شايد اغلب رياضى‏دانان لازم مى‏شمارند به موضوع مبانى عمومى منطقى اين علم بازگردم.

در پژوهشى كه خواهد آمد، به سه اصل اساسى پايبند بوده‏ام:

همواره امر روانى را از امر منطقى و امر ذهنى را از امر عينى قاطعانه جدا نگاه دارم;

هيچ‏گاه معناى واژه‏اى را به طور جداگانه جستجو نكنم بلكه فقط در متن يك گزاره بجويم;

هيچ‏گاه فرق مفهوم و شى‏ء را از نظر دور ندارم.

براى رعايت اصل اول، واژه «تصور» را همواره در معناى روانشناختى آن به كار برده‏ام و تصورات را از مفاهيم و اشياء متمايز كرده‏ام. اگر اصل دوم را رعايت نكنيم همواره ناگزير خواهيم بود تصويرهاى ذهنى يا كارهاى ذهن فرد را به جاى معانى واژه‏ها بپذيريم و بدين صورت اصل اول را نيز زيرپا بگذاريم. و اما درباره اصل سوم، اين توهم صرف است كه گمان كنيم مى‏توانيم مفهوم را بى‏آنكه تغييرى در آن بدهيم به شى‏ء بدل كنيم. از اين گفته اين نتيجه حاصل مى‏شود كه نظريه فرماليستى اعداد كسرى، منفى و غيره كه جانبداران زيادى دارد بى‏پايه است. در اين كتاب فقط مى‏توانم به نظر خود درباره اصلاح آن نظريه اشاره‏اى بكنم. موضوع درباره اين‏گونه عددها نيز، مانند اعداد صحيح مثبت، آن است كه معناى اين‏همانى را مشخص كنيم.

گمان مى‏كنم نتايجى كه به‏دست آورده‏ام، دست‏كم در اساس، نظر موافق رياضى‏دانانى را جلب كند كه زحمت توجه به استدلالهاى مرا بر خود هموار مى‏كنند. به نظر من، بذر اين استدلالها در هوا پراكنده است و چه بسا هركدام از آنها يا چيزى شبيه به آن به تنهايى پيش از اين هم مطرح شده باشد; هر چند كه شايد مطرح‏كردن آنها در ارتباط با يكديگر، چنانكه در اينجا مطرح مى‏شود، هنوز هم كار تازه‏اى باشد. اغلب اوقات من دچار شگفتى شده‏ام كه مى‏بينم نويسندگانى كه در يك مورد به راى من بسيار نزديك هستند در ساير موارد به شدت از راى من دور مى‏شوند.

اينكه فيلسوفان استدلالهاى مرا چگونه بپذيرند بستگى دارد به وضع كلى عقايد آنان; اما احتمال مى‏رود آن عده از تجربه‏گرايان كه استقراء را تنها روند اصيل استنتاج مى‏دانند (و حتى در اين خصوص نيز آن را روند استنتاج نمى‏دانند بلكه نوعى روند تكوين عادت مى‏شمارند) استدلالهاى مرا كمتر از همه بپسندند. شايد تك‏وتوكى از آنان از اين فرصت‏بهره جويند و بار ديگر مبانى نظريه شناخت‏خود را بررسى كنند. در پاسخ آنان كه دلشان مى‏خواهد تعريفهاى مرا بدين عنوان كه غيرطبيعى است مورد انتقاد قرار دهند مى‏گويم كه مساله در اينجا طبيعى‏بودن يا نبودن آنها نيست‏بلكه مساله آن است كه اين تعريفها به لب مطلب برسند و از لحاظ منطقى ايرادناپذير نباشند.

اين اميد را به دل راه مى‏دهم كه حتى فيلسوفان نيز، اگر آنچه را نوشته‏ام بى‏پيشداورى بررسى كنند، در آن چيزى بيابند كه به كار آنان بخورد.

(× اين مقاله ترجمه‏اى است از مقدمه كتاب :

(Gottlob Frege. The Foundations of Arithmetic, tr. J. L. Austin, 2nd ed. Basil Blackwell, 1953, pp.I-XI.

پى‏نوشتها:

1. Teneriffe

2. Herbart ،در مجموعه آثار: «دو به معناى دو چيز نيست‏بلكه به معناى دوبرابرشدن است.» الخ.

3) ازك فيشر .K. Fischer

4. Stricker

5. E. Schroder